摘要：測(cè)量下限是光散射顆粒測(cè)試技術(shù)的重要指標(biāo)。本文對(duì)顆粒散射光的光強(qiáng)分布進(jìn)行了細(xì)致比較，對(duì)Mie散射向Rayleigh散射趨近的情況進(jìn)行了分析，本文通過(guò)對(duì)Mie散射理論的深入研究和計(jì)算機(jī)模擬證實(shí)，對(duì)于氦氖激光，當(dāng)測(cè)量粒徑在0.2微米以下，Mie散射的解迅速趨近于Rayleigh散射的解，其光強(qiáng)分布函數(shù)變得簡(jiǎn)單，特別是在50納米以下，我們無(wú)法用通常的靜態(tài)光散射法從光強(qiáng)空間分布函數(shù)中提取足夠的信息來(lái)計(jì)算顆粒直徑。本文的結(jié)果對(duì)各種光散射顆粒測(cè)試設(shè)備的研究有參考價(jià)值。
   關(guān)鍵詞：顆粒；粒度；光散射；Mie理論；測(cè)量下限
隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，科技的進(jìn)步，人們希望準(zhǔn)確測(cè)量更小的顆粒，對(duì)顆粒測(cè)試的下限提出了更高的要求。近幾年國(guó)內(nèi)外出現(xiàn)了多種靜態(tài)光散射儀器，測(cè)量下限差別很大。究竟靜態(tài)光散射測(cè)量下限在那里？這是一個(gè)理論問(wèn)題，也是一個(gè)人們十分關(guān)心的實(shí)際問(wèn)題。
    靜態(tài)光散射粒度分析，主要是依據(jù)不同大小顆粒的散射能量的空間分布（散射譜）的差異確定顆粒大小。如果散射譜的空間分布差異消失，則靜態(tài)光散射將不能測(cè)量顆粒粒度，應(yīng)代之以動(dòng)態(tài)光散射或其他分析技術(shù)。Mie散射理論是顆粒光散射的基礎(chǔ)理論，因此顆粒測(cè)量下限的確定，實(shí)質(zhì)上決定于Mie散射理論能譜的研究。本文以Mie理論為依據(jù)，通過(guò)理論分析和進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，確定測(cè)量下限的參考范圍。

1 Mie散射基本公式

Mie理論是對(duì)處于均勻介質(zhì)中的各向均勻同性的單個(gè)介質(zhì)球在單色平行光照射下的Maxwell方程邊界條件的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解。入射光為*偏振光時(shí)（ 為散射角， 為入射光振動(dòng)面與散射面之間的夾角），垂直散射面的散射光強(qiáng)Ir和平行于散射面的散射光強(qiáng)Il以及總散射光強(qiáng)IS的表達(dá)式分別為：
Ir =                      （1）
Il=                      （2）
Is=                                 （3）
其中： Is = Ir + Il  , =  , = 
、 為散射振幅函數(shù)：
=                          （4）
=                          （5）
式中an、bn為Mie散射系數(shù)，表達(dá)式為:
                             （6）
                             （7）
m是顆粒折射率，a為顆粒尺寸參數(shù):a =πD/λ
                                          （8）
                                         （9）
z表示ma或a， 、 ，分別表示半整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)和第二類漢克爾函數(shù)。 表示 .和 分別對(duì)各自變量的微商。
式中πn、τn, 為散射角函數(shù)，表達(dá)式為： 
                                     （10）
（cos（θ））是為一階締合勒讓德函數(shù)。
當(dāng)顆粒直徑遠(yuǎn)d小于入射光波長(zhǎng)λ時(shí)，Mie散射為近似Rayleigh散射，其散射光強(qiáng)為：
                       （11）

2 Mie散射與Rayleigh散射光分布圖像形狀的比較：

通過(guò)散射光分布圖像的形狀來(lái)判斷顆粒的直徑是一種有效且易于操作的分辨方法，但是這種方法有一定的適用范圍，只有在圖像形狀隨粒徑有明顯變化時(shí)才能使用。
首先我們把散射光強(qiáng)都進(jìn)行了歸一化處理，這樣做可以排除散射光強(qiáng)度的影響，只關(guān)注散射光分布的圖像的形狀。為了便于討論，本文在編程計(jì)算時(shí)均假設(shè)入射光源是較為常用的波長(zhǎng)為0.6328微米的激光器，對(duì)于其他波長(zhǎng)的光源易有類似結(jié)論。
圖3
圖4
圖1
圖2
如圖1-圖5分別為Rayleigh散射和粒徑為2nm-1960nm的Mie散射在極坐標(biāo)下的歸一化光強(qiáng)，圖中徑向?yàn)橄鄬?duì)光強(qiáng)，橫向?yàn)樯⑸浣?，散射角?度到360度，入射光波長(zhǎng)為632.8nm。
圖5

通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：
（1） d取2-50nm時(shí)，Mie散射與Raileigh散射的圖像的光強(qiáng)分布圖像很相似，尤其是2nm的Mie散射圖像（圖2）和Raileigh散射的圖像（圖1）用肉眼難以區(qū)分。前向散射（0度至90度和270度至360度）和后向散射（90度至270度）基本對(duì)稱。整個(gè)圖像呈一個(gè)“豆瓣形”。
（2） d取50-200nm時(shí)，Mie散射的光強(qiáng)分布圖像逐漸變?yōu)榍跋虼笥诤笙?，?dāng)d=200nm時(shí),大部分光散射已集中在前向，不再前后對(duì)稱。（如圖3）
（3） d取340nm-1960nm時(shí)，前向散射遠(yuǎn)大于后向散射，而且在后向逐漸趨于復(fù)雜的花瓣?duì)罘植?。（如圖4，圖5）
3 定量比較Mie散射與Rayleigh散射光分布
構(gòu)造差異函數(shù) 
其中：θ為散射角，從1度取至360度；d為粒徑；Imie（d, θ）為粒徑為d時(shí)在θ角上的Mie散射歸一化光強(qiáng)；Iray（θ）為在θ角上的Rayleigh散射歸一化光強(qiáng)。
顯然，Mie散射的光強(qiáng)分布圖與Rayleigh散射光強(qiáng)分布圖越接近F（d）越小，F(xiàn)（d）表征Mie散射的光強(qiáng)分布與Rayleigh散射光強(qiáng)分布圖像形狀的接近程度。
圖6
圖7
編制程序進(jìn)行計(jì)算，可得F（d）圖像如下：

可以觀察到差異函數(shù)曲線在d相對(duì)小時(shí)比較平滑（如圖6的起始部分和圖7），當(dāng)d增大時(shí)F（d）迅速增大，從剛開(kāi)始的0.1-0.2增至150以上，相差三個(gè)數(shù)量級(jí)。而且通過(guò)進(jìn)一步的計(jì)算我們可以發(fā)現(xiàn)ｄ＞1000時(shí)，F(xiàn)（d）增大得更為迅速。F（d）越大說(shuō)明圖像變化越大，此時(shí)圖像更容易分辨，測(cè)量誤差較小；反之，F(xiàn)（d）越小說(shuō)明圖像變化越小，此時(shí)圖像較難分辨，測(cè)量誤差較大。
根據(jù)不同的測(cè)量精度要求，可得不同的測(cè)量范圍，精度越高，范圍越小。一般來(lái)講：
 （1）  d取200nm以上時(shí)，Mie散射的光強(qiáng)分布圖像與Rayleigh散射的光強(qiáng)分布圖像差別較大。此時(shí)，Mie散射的光強(qiáng)分布圖像的形狀可提供里較多的粒度信息，可以用來(lái)判斷顆粒粒徑。
（2）    d取50-200nm時(shí)，Mie散射的光強(qiáng)分布圖像與Rayleigh散射的光強(qiáng)分布圖像差異很小，據(jù)此提取粒度信息非常困難。
（1）  d<50nm時(shí)，Mie散射與Rayleigh散射的光強(qiáng)分布圖像很相似，靜態(tài)光散射已經(jīng)無(wú)法提取顆粒粒度信息。
圖8 當(dāng)散射角為0,45,90,135,180度時(shí)散射光強(qiáng)I隨d變化，d取10至1000nm

4 對(duì)散射光強(qiáng)度的討論

雖然當(dāng)d較小時(shí)，Mie散射的光強(qiáng)分布圖像與Rayleigh散射的光強(qiáng)分布圖像很相似，不易用散射的光強(qiáng)分布圖像的形狀來(lái)判斷粒徑，但我們?cè)诶碚撋峡梢岳闷渌奶攸c(diǎn)來(lái)求解粒徑。
如圖8：當(dāng)d較小時(shí)某角度的散射光強(qiáng)隨d的增大而迅速增大，并具有相當(dāng)好的單調(diào)性，如圖8的前部。圖8的Y軸是指數(shù)坐標(biāo)，可見(jiàn)散射光強(qiáng)隨d的增加是非常迅速的。在圖像上的單調(diào)區(qū)域，我們可以根據(jù)顆粒布朗運(yùn)動(dòng)與顆粒大小相關(guān)的動(dòng)態(tài)光散射原理，采用光子相關(guān)技術(shù)獲得關(guān)于顆粒大小的信息。

5 結(jié)論

由以上分析可知靜態(tài)光散射測(cè)定顆粒粒徑的下限應(yīng)該在50nm-200nm之間，*測(cè)定范圍在0.2微米以上。增加附加探頭也不能改變此測(cè)量下限。

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Abstract: The lower bound is the key point of the light scattering technique. In this article, the intensity distributions of different scattering light are compared, the relationship between Mie scattering and Rayleigh scattering is investigated. By an in-depth study on Mie theory and computer simulation, the conclusion was drawn that, for He-Ne laser, when the survey particle size is less than 0.2 micron, the Mie scattering solution draws close in the Rayleigh scattering solution rapidly, its intensity distribution function becomes simply. Especially for the particle less than 50 nanometer, we are unable to distill enough information from light intensity spatial distribution function to calculate the particle diameter with static light scattering, which is used usually. This result is of guidance significance to the research of the light scattering equipment. 
Keywords: particle; granularity; light scattering; Mie theory; lower bound